, < o =, según corresponda. Actividad cooperativa 24 24 _____ 10 10 2323 11. Trabajen en parejas y resuelvan. a) > > 7 7 7 f) 7 _____ 11 11 Sobre la obtención de 2 en un triángulo 7 7 b) 5 5 _____ rectángulo, calculen en forma consecutiva < 3 3 g) 55 _____ ππ > 22 33 3, 4, 5, 6 y 7 . 29 c) 3π _____ 29 3π > Indaguemos 3 < h) − − 23 ____ − −23 3 96 96 d) 2,718 _____ e2,718 = 2 e 2 12. Investiga en qué consiste la razón áurea. Expón en clase utilizando gráficos ilustrativos. e) 1 1,12 _____ 3 3 ϕ ϕ i) − − 15 15 ___ − < − 17 17 Puedes investigar en la siguiente página web: > , 2 1 5 5 3 3 4 4 lynk.ec/9mt03 Matemática 25 9.º EGB 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 25 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 25]]> b si a – b > 0 ii) a < b si a – b < 0 Matemática Ejemplo: a) Ordena en forma ascendente los siguientes números reales. = ∪Q' 1010 10−1252;;π − , − , − , − , − ;; ;;; 11111 −1252;; ; π −1252;; ; π −1252;; ; π ; −1252;; ; 10 10 π , 333 33  Q' Solución Para ordenar los números reales, escribimos cada uno en su notación decimal y los comparamos de acuerdo con las condiciones de orden. 1 , , 21414 = , = 0 333  π = 3 141 3 − 10 < − 12550 333 < , < 1414 , < 3 141 , , 28 Matemática M.4.1.30. Establecer relaciones de orden en un conjunto de números reales utilizando la recta numérica y la simbología matemática (=, <, ≤, >, ≥). M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y con términos algebraicos aplicando propiedades en R (propiedad dis- 9.º EGB tributiva de la suma respecto del producto). 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 28 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 28 22/11/24 14:54]]> ⇒⋅ <⋅ Si 1 < 34 0 ⇒⋅ 43 4 El valor absoluto de un 0 > <⋅ a cb c y 2 2 número real es la distancia que existe entre < < − 0 a cb c Si ab y c < ⇒⋅ >⋅ Si 02 1 y 3 0<⇒ 0 2⋅− ( 3) >⋅ − ( 3) el número y el cero en , , 1 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción una recta numérica. 5 < < − Si ab y cd ⇒+ <+ Si 03 , < 5 y 2<− 1⇒ 03 2<− 1 El valor absoluto de un ac bd − , 3 3 número real se escribe |a| ( Si ab⋅< ⇒ Si −⋅ ) <⇒ y su resultado siempre es 0 0 23 un número positivo. a > 0 y b < 0 o 2 es positivo y es negativo o 3 a < 0 y b > 0 2 es negativo y 3espositivo a = a si a ≥ 0 a =− a < 0 a si Si ab⋅> ⇒0 Si 42 ⋅ ( ) >⇒ 0 Halla el valor absoluto a > 0 y b > 0 o 4 es positivo y es positivo o de -2,124 2 a < 0 y b < 0 4 es negativo y 22 es negativo > > > , Si ab a > 0 y b >⇒ Si 97 90 y 7>0 ⇒ 0 , 1 < 1 1 < 1 a b 9 7 Ejemplo: Escribe un ejemplo para las siguientes propiedades. y a cb d ⇒+ a < d <+ < a < a cb c b) 0 0 ⇒⋅ a) a) a) ab⋅ c b) a bc d ⇒+cb<+ d Matemática < y bc >⋅ b) a < Solución Para redondear un − a) Si a) Si a) Si −< −7−<7 1 y −1 40 <⇒40 7−⋅( ) >−7 4−4 1 1 número a una unidad y − <⇒ −⋅ − ( ) >− ⋅− ( ) 4 ⋅− ( ) 4 determinada, debemos 1 9 1 9 1 1 9 9 fijarnos en la cifra b) b) y 5 b) < < y 5<<⇒ +< +7 <<⇒ +< +7 2 2 5 5 2 2 7 7 inmediatamente posterior 2 2 2 2 (la que le sigue) y: Redondeo de números reales a) si es mayor o igual que 5 (5, 6, 7, 8 , 9), se Redondear un número significa aproximar los decimales de un número a una cifra aumenta en uno la cifra propuesta. Si el número que precede a esa cifra es mayor o igual a 5, se le suma anterior. 1 unidad. Caso contrario, se la mantiene. b) si es menor que 5 (0, 1, Ejemplo: 2, 3, 4), se deja la cifra igual. Redondear 3 a las centésimas. Solución Calculamos su valor en la calculadora: 3 = 1,732050808... Como a la cifra de las décimas 3 le sigue 2, y 2 no es igual ni mayor a 5, el redondeo es: 3 ≈1,73. Matemática 29 9.º EGB 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 29 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 29]]>, < o =. encuentran las siguientes raíces.  = a) 0,3 ____ 1 e) 3 27 ____ 9 = 3 a) ___________ d) __________ 3 Entre 2 y 3 Entre 8 y 9 b) 3 ____ 1 f) 22 ____ π2 < > b) __________ e) __________ 2 Entre 3 y 4 Entre 4 y 5  c) 6,2 ____ 4,22 g) 1,04 ____ 1,009 > > Entre 6 y 7 c) __________ f) __________ Entre 4 y 5 7 > < d) – 5 ____ –2 h) 5 ____ 23 30 Matemática 9.º EGB 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 30 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 30]]> ⇒⋅ <⋅ 0 a cb c 2,7 ____________________________________ Respuesta abierta –2 < 5 –2(3) < 5(3) 3 d) √4 a las centésimas __________________ d) d) Si ab< y c < ⇒⋅ >⋅ 1,59 0 a cb c ____________________________________ Respuesta abierta –2 < 5 –2(–2) > 5(–2) e) π2 a a las milésimas ____________________ 6,283 Indaguemos 6,4 f) 5 + 2 a las décimas __________________ 12. Investiga acerca del sistema de numeración binario y su utilidad. g) 3e a las milésimas ____________________ Averigua cómo pasar del sistema de numeración 8,155 binario al decimal y viceversa. Plantea π 2 2 ejemplos. h) a las décimas ____________________ 2,5 2 Matemática 31 9.º EGB 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 31 22/11/24 14:54 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 31]]> db c y eb c =⋅ =+ Las expresiones algebraicas se aplican en la planificación financiera 2 (especialmente en temas En el trinomio x + x 5 − 24, que representa el área de la placa, tenemos: de interés compuesto), x + x 5 − 24 ( + x 3) , puesto que 8 – 3 = 5 y (+8)(–3) = –24 2 x 8)( − = y en la resolución de problemas financieros del Ejemplo: mundo real. 2 Factoriza el trinomio: x + 6 xy 7− y 2 ©Shutterstock Solución Aplicamos el proceso para la factorización de trinomios de esta forma: 2 2 x + 6 xy 7− y = ( + y xy) x 7 )( − 7 Porque: yy 6−= y y(+ y 7)(− y)=− y 7 2 118 Matemática 9.º EGB M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas. 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 118 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 118]]>, menor con nuestra altura. que <, menor o igual que ≤ o mayor o igual que ≥. Una inecuación lineal es una desigualdad es una expresión matemática de las formas xa xa xa xa> ; < ; ≥ ; ≤ cuya solución es un conjunto de números reales que satisfacen a la desigualdad y que se representa como un intervalo. Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos valores, ©Shutterstock llamados extremos. Gráficamente se representan como segmentos de recta o semirrectas. ¿Cuál es la diferencia Intervalo Inecuación Representación gráfica entre inecuaciones y ecuaciones? (a, b) a < x < b − a b + [a, b] a ≤ x ≤ b − a b + [a, b) a ≤ x < b − a b + Cívica (a, b] a < x ≤ b − a b + Nuestros ancestros indígenas utilizaban varias (a, ∞) x > a − a + herramientas para realizar cálculos matemáticos. [a, ∞) x ≥ a − a + Una de ellas es la taptana, una tabla similar (–∞, b) x < b − b + a un ábaco. ¿Cómo valoras la (–∞, b] x ≤ b − b + diversidad étnica y cultural del Ecuador? (–∞, ∞) –∞ < x < ∞ − + Ejemplos: Matemática Determina el intervalo solución para las inecuaciones. a) x > 9 b) x ≤−6 c) −< ≤2 x 5 Si −< ⇒> −xa x a x xa −> ⇒< −a Solución: ( a) 9; ∞) b) −∞ − ] 6 c) − ( 25; ] ( ; 142 Matemática M.4.1.11. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita en ℤ, de manera analítica, en la solución de ejercicios numéricos y problemas. 9.º EGB M.4.1.39. Representar un intervalo en ℝ de manera algebraica y gráfica, y reconocer el intervalo como la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita en ℝ. 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 142 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 142 22/11/24 14:58]]> 0,entonces inecuaciones podemos < b y trasponer términos Si a bc a +< +c y − <−c. a cb a cb acbc y > . c c Inecuaciones de la forma ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 62 −> x 4+≥ − 10 se denominan inecuaciones Ejemplos: continuas y se pueden resolver simultáneamente. a) Resuelve la inecuación aplicando propiedades. Expresa la − − − respuesta en forma de intervalo. − 6 4 > x 2 + 4 4 ≥− 10 4 5 + − x 2 − ≥− 4 x 3 − 6 4 > x 2 + 4 4 ≥− 10 4 − − − − 10 > x 2 ≥− 14 Solución 10 2 14 5 + − x 2 − ≥− 4 x 3 − > x ≥− 2 2 2 5 54 +++ − x 2 −++ x ≥− 4 x 3 54 x 5 −> x ≥− 7 x 2 ≥ 8 7; − −5 Solución [ [ x 2 ≥ 8 ©Freepik 2 2 ≥ x 4 Solución 4; x 3 1 3 b) Resuelve la inecuación −− < x + por trasposición de términos. 2 2 4 Digital Solución x 3 1 Imprime la página 3 −− 3< x + Pasamos —x con signo negativo y –3 con signo positivo. 4 del siguiente enlace 2 2 4 2 y refuerza tu x 3 1 conocimiento resolviendo −− x < + 3 Reducimos términos semejantes. 2 2 4 inecuaciones. lynk.ec/9mt21 13 − x 2 < Multiplicamos por –2. 4 1 1 13 2x < 2 2 4 13 13 x < Solución ; 8 8 Matemática 143 9.º EGB Matematica 9 EGB Cultiva.indb 143 22/11/24 14:58 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 143]]> ___________________________ 5 9 a) Se suma 5 a ambos lados. _______________ A) – 3 B) –1 C) – 5 −< −1 5 2 2 b) Se resta 8 a ambos lados. _______________ −18 < −14 c) Se resta –2 a ambos lados. ______________ d) – x 8 > – 16 _________________________ −< −4 8 11 33 d) Se multiplica por 4. ____________________ 4 1 1 < −24 −40 A) B) C) – – e) Se multiplica por –3. ___________________ 3 3 3 30 18 > f) Se multiplica por –1. ___________________ 4. Expresa cada desigualdad como un intervalo >6 10 y haz su gráfica. g) Se divide para 2. ______________________ 5 3 −< − 4 ∞ 2. Escribe tres números racionales que sean a) x ≥ [4, [ 4 4 solución de las siguientes desigualdades. 4 4 2 b) x ≤− ]−∞, −2] - 4 4 –2 16 - 4 - 4 –2 a) x ≤ _____________________________ - –2 Respuesta abierta 5 - - –2 –2 –2 8 ∞ − 35 c) x >− ]8, [ –8 - –8 –8 –2 –2 - b) x > ______________________________ –8 –8 Respuesta abierta 7 - –8 - –8 - 6 6 47 d) x < 6 ] −∞ , 6[ - –8 6 6 c) x < ______________________________ - - 6 Respuesta abierta 6 -2 - 5 6 6 -2 - 5 23 e) –2 ≤ x ≤ 5 [2,5] -2 -2 -2 5 5 5 6 − − d) x < – _____________________________ -10 -2 6 5 Respuesta abierta 4 -10 -2 -2 6 5 6 5 -10 -10 6 1 f) 6 ≥ x ≥ −10 [10, 6]− -10 6 e) x > – _____________________________ -4 -10 8 6 -4 -10 Respuesta abierta 8 6 3 -4 -10 8 6 -4 -4 8 8 x 8 3 g) −≤ < [ − 4,8[ -12 -4 -68 4 f) –x > – ___________________________ -12 -4 -4 -6 8 -6 8 Respuesta abierta -12 4 -12 -6 -6 -12 50 -6 20 -12 x 6 3. Selecciona el número que no satisface a las h) −> ≥− 12 [12, 6[− − 20 -12 50 -6 -6 + + + + -12 20 50 siguientes inecuaciones. 20 20 50 50 + + 50 20 20 50 + 20 50 + 3 5. Determina la desigualdad que representa cada a) x ≤2 ____________________________ 4 intervalo. A) 0 B) 1 C) 1 a) [2 ,5]− _____________________________ 5 2 −≤ x ≤ 4 2 − 1 4 x ≤− 3 b) − ]4,1] ____________________________ −< b) x ≤2 ____________________________ 4 2 < 10 −< x 25 c) ]2 ,5[− _____________________________ A) 0 B) C) 9,5 6 d) − − [80, 20[ __________________________ ≤ <−20 x −80 144 Matemática 9.º EGB 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 144 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 144]]> x x − x 2 x 2 ≤ x 3 x 3 − 8 40 x ≥ 6. Resuelve las inecuaciones y expresa la solución d) 10 − 5 ≤ 2 − 8 ___________________ 9 en forma de intervalo. 10 5 2 x −1 x a) x 27+≥ [5, ∞ [ e) x −1 − 3 ≤ x + 9 ___________________ x ≤ 75 2 − 3 ≤ 3 + 9 3 2 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 2 1 4 7 x 1 > 3 b) x 5−≥ − [2, ∞ [ 2 + x 4 − 7 x > 41 3 f) 5 + x > 5 x − 3 ________________ 7 5 3 5 3 c) x 10 5− ≤ ] −∞, 15] 3 9 5 11 –125 x ≤ 5 g) 3 − 7x − 9 ≥− 8x + 11 + 5x __________ 21 4 − 7x − 2 ≥− 8x + 4 x + 5 3 3 4 4 2 d) 2 x 10 [5, ∞ [ ≥ 9. Resuelve las inecuaciones. x −1 x − 3 x −1 x − 3 ≤−1 − , e) x <− 1 ] −∞ −1[ a) 4 x 6 − 2 ≤−1 − x ⎛ ⎜ ⎝ 7 2 ; + ∞ ⎟ ⎞ ⎠ 6+≥1 5 2 −x 3 > 10 7 − x 23 51x −13 + 2x ≤ 15x < f) − 4 x 6 − ] 3 ∞ , [ b) 5 51x −13 >−1 +1 −11 < x < 3 > 2 4 + 2x ≤ 15x +1 4 7 1 x 7 g) 2 x −≤ −+14 ] −∞, 7] c) 2 >− x > 0 < 4 < x 8 4 2 2 10 h) 6 x 10 ≤ −− x ] −∞, 1 ] d) ( 2 x –5 ) ≥ x ( 3 –2 ) –4 − 2 x 1 1 ( x –1 , i) 2 x 7+− x 4 x 16 ] −∞ −3[ e) – –6 x ) ≤+ , > + 2 4 10 x 3 1 x 5 100 3 7. Desarrolla los productos. Luego, soluciona la f) 4– 10 +≤ + – 4 17 , 4 8 inecuación y representa la solución en forma gráfica. x 1 5 g) –9 ≤+ < –84, –29 x 1)( − x 6)( + ≥ a) ( + x 3) ( + x 1) 6 6 14 Actividad cooperativa x ≤ – 9 10. Trabajen en parejas y resuelvan. 2 b) 2 ( x 1)( + < x 5) + x 2 Ejemplifiquen las propiedades 2, 3 y 4 de las x 4) ( + + desigualdades en la resolución de inecuaciones x > 2 continuas de tres ejemplos. Expongan en clase. Indaguemos 8. Resuelve las inecuaciones continuas. 11. Investiga tres enunciados que pueden ser ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 1 representados por una desigualdad. Comparte a) 5– ⎜ ⎝ 4 –1 ⎟ ⎠ > 3 ⎜ ⎝ x – ⎟ ________________ tu investigación con la clase. x < –21 ⎠ 6 Matemática 145 9.º EGB 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 145 22/11/24 14:58 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 145]]> a 180º 1,8 cm Ángulo < 180º 4 cm Elementos de un polígono A más de los lados y los vértices, los polígonos tienen otros elementos. Entre Vértice los principales están: Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Lado Ángulo El número de diagonales de un polígono de n lados se puede calcular mediante interno la fórmula. Ángulo Diagonal nn 3) ( − central Centro N = d Radio Apotema Ángulo 2 Apotema: es el segmento perpendicular a un lado del polígono, trazado desde externo el centro. Radio: es el segmento que une el centro del polígono con cualquiera de sus vértices. Solo se encuentra en los polígonos regulares. 164 Matemática 9.º EGB M.4.2.18. Calcular el área de polígonos regulares por descomposición en triángulos. (Destreza desagregada) 22/11/24 14:59 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 164 Matematica 9 EGB Cultiva.indb 164 22/11/24 14:59]]>