4 calcula los valores de f(x) que se d) ¿Existe asíntota horizontal?, ¿cuál es su plantean a continuación. ecuación? f(5), f(6), f(7), f(8) ___________________________________ Sí existe y = 0. 2 1 f () =1,f f f () =5 2,6 () =7 ,8 3. Sea: () = 6 . () = fx 3 2 ( –1 x ) x )( +1 a) Halla el Dom(f). { e) Con los datos obtenidos en los incisos Domf ––1,.1 } () =  ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción anteriores, grafica la función. y 4 3 b) Halla las asíntotas. E = (5, 2) 2 F = (6, 1) 1 G= (7, 0.65) Asíntota vertical 1 x = –1; 1 H= (8, 0.5) D= (–4, –0.25) x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Asíntota vertical 2 x = 1; C= (–2, –0.33) B= (2, –1) 2 –1 Asíntota horizontal y = 0 –2 A= (3, –2) –3 –4 c) Para x < –1 calcula los valores de f(x) que 2. En la imagen se muestra la gráfica de una fun- se plantean a continuación. ción racional, observa, analiza y responde las f(–2), f(–3), f(–4) siguientes preguntas: 27 y 3 3 2 f ( ) =–2 2,f ( ) =–3 ,– ( ) =4 f 2 4 5 x = –1 x = 2 1 y = 0 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 d) Para –1 < x < 1 calcula los valores de f(x) –1 que se plantean a continuación. –2 f(–0,5), f(0), f(0,5) –3 f (–0,5 ) = –8,0f () = –6,0,5f ( ) = –8 a) ¿Cuál es el dominio de la función? () Domf ___________________________________ {−1,2 } =  − e) Para x > 1 calcula los valores de f(x) que se b) ¿Cuál es el rango o recorrido de la función? plantean a continuación. {} 0 ___________________________________ f(2), f(3), f(4) Re () cf =  − c) ¿Cuáles son las ecuaciones de las asínto- 3 2 f () = ,4f tas verticales? f () =2 2,3 4 () = 5 ___________________________________ x = –1; x = 2 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 27 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 27]]> 0 calcula los valores de f(x) que se f ( ) =–3 5 ,– 10 ,– 35 ( ) =8 f ( ) =6 f plantean a continuación. 3 9 33 f(1), f(3), f(5) 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 28 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 28]]> 0 que tienden a cero, x = 3 + h tiende a 3. 1 f () =0 f () =–1 0,f () =0 ,2 3 c) Completa. De acuerdo con el análisis de los literales a e) Para x > 3 calcula los valores de f(x) que se y b ¿a qué es igual la siguiente expresión? ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción plantean a continuación. ( +h 3 f(4), f(5), f(7) lim3 )3 = _______________________ 8 h →0 7. Sea x = 0,2 0 5 9 10 () = ,7f f () =4 ,5 () = a) Completa los valores de x = 0,2 + h en la f 3 7 9 tabla a continuación. h x = 0,2 + h d(0,2; 0,2 + h) –0,10 0,1 0,10 f) Con los datos obtenidos en los incisos anteriores, grafica la función. –0,05 0,15 0,05 y –0,025 0,175 0,025 8 –0,012 5 0,187 5 0,012 5 29 6 –0,006 25 0,193 75 0,006 25 4 G = (4, 1.67) –0,003 125 0,1968 75 0,003 125 A = (–3, 1.67) 2 C = (–8, 1.06) H = (5, 1.29) B = (–6, 1.11) E = (0, 033) F = (2, 0) I = (7, 1.11) –0,001 563 0,198 437 0,001 563 x –8 –6 –4 D = (– 1, 0) 0 2 4 6 8 –2 –2 b) Analiza la tabla anterior. –4 Para valores de h < 0 que tienden a cero, 6. Sea x = 3. 0 a) Completa los valores de x = 3 + h en la x = 0,2 + h tiende a 0,2. tabla a continuación. h x = 3 + h d(3; 3 + h) 0,5 3,5 0,5 c) Completa. 0,05 3,05 0,05 De acuerdo con el análisis de los literales anteriores, ¿a qué es igual la siguiente ex- 0,005 3,005 0,005 presió? 0,000 5 3,000 5 0,000 5 0,2 ( 0,000 05 3,000 05 0,000 05 h lim0,2 + h ) = ______________________ – →0 0,000 005 3,000 005 0,000 005 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 29 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 29 4/8/23 11:16]]> 4 calcula los valores de f(x) que se d) Para x > 0 calcula los valores de f(x) que se plantean a continuación. plantean a continuación. f(5), f(6), f(8), f(10) f(1), f(2), f(4) 9 11 13 () =0 f f () =5 8,6 () = ,1 f (1) = 5, f (2) = 3, f (4) = 2 () = ,8f f 2 4 6 e) Con los datos obtenidos en los incisos e) Con los datos obtenidos en los incisos anteriores, grafica la función. anteriores, grafica la función. 10 y 6 y 8 E = (5, 8) 5 D = (1, 5) 6 4 E = (2, 3) F = (6, 4.5) 3 4 2 F = (4, 2) H = (10, 2.17) D = (– 3, 0) 2 G = (8, 2.75) 1 x C = (– 4, 0) x –10 –8 –6 –4 –2 0 2 B = (2, 2.5) 6 8 10 12 14 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 4 C = (– 1, 0.4) –2 B = (– 2, – 1) –1 –4 A = (3, –6) –2 –3 –6 A = (– 1, – 3) –4 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 30 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 30 4/8/23 11:16]]> 3 calcula los valores de f(x) que se ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción plantean a continuación. 0,0010 0,0010 0,0010 f(4), f(5), f(6) b) Analiza la tabla anterior. 52 629 130 f () =4 ,.f () =5 ,.f () =6 Para valores de h > 0 que tienden a cero, 7 116 27 x = 0 + h tiende a 0. f) Con los datos obtenidos en los incisos anteriores, grafica la función. 4x 4 +16 y 11. Sea: () =fx 8 x 4 –5x 2 –36 31 6 a) Halla el Dom(f). 4 ––3,3 Domf  { } () = 2 x –6 –4 –2 0 2 4 6 b) Halla las asíntotas. –2 –4 Asíntota vertical 1; x = –3 1 Asíntota vertical 2; x = 3 2 Asíntota horizontal; y = 4 g) Completa. De acuerdo con el análisis de la gráfica de c) Para x < –3 calcula los valores de f(x) que los incisos anteriores ¿a qué es igual las si- se plantean a continuación. guientes expresiones? f(–4), f(–5), f(–6) i) lim(0 + ) ____________________ = ∞ h h →3 + h = – ∞ 52 629 130 ii) lim(0 + ) ____________________ − f f ( ) =5 ( ) =6 f ( ) =–4 ,– ,– h →3 7 116 27 = ∞– h iii) lim(0 + ) ___________________ h →−3 + = +∞ h iv) lim(0 + ) ___________________ − h →−3 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 31 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 31]]> 4 calcula los valores de f(x) que se d) Para x > 3 calcula los valores de f(x) que se plantean a continuación. plantean a continuación. f(5), f(7), f(8) f(4), f(6), f(7), f(9) 9 22 15 4 2 f () =5 ,7 ,8 f () =4 –4,f () =6 – ,7 () = – f f () = () = f () = –1,9f 4 15 11 3 3 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 32 4/8/23 11:16 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 32]]> 0,...∀ ∈ A df () x < 0,...∀ ∈ A x x dx dx b) p creciente: d) p estrictamente decreciente: df () x df () x x x 52 dx ≥ 0,...∀ ∈ A dx ≤ 0,...∀ ∈ A Análisis de funciones polinomiales ≤ 4 e) p es monótana si p es creciente o decreciente df () c 3. p 4 ∈ p ,. ∈ ,  [] c es punto crítico si: = 0 c dx ,. ⊂ p  ∈ 4. p 4 [] A  ,.no.vacío,. ∈ c : A x a) p(c) mínimo local: p(c) ≤ p(x), ∀∈  x b) p(c) máximo local: p(c) ≥ p(x), ∀∈  c) p(c) valor extremo local si es máx. o mín. en A ∈ p c 5. p 4 [] ,. ∈  : a) p(c) mínimo global: p(c) ≤ p(x), ∀∈x  x b) p(c) máximo global: p(c) ≥ p(x), ∀∈  Actividad resuelta x Sea () =px 3x 3 + 3x 2 + 1,...∀ ∈  encontremos los puntos ∈x  en los que la derivada de la función dp () x polinómica es cero: = 0. dx Solución () ( +h dp () a =limQh pa ) – p a =9x 2 +6x +9xh +3h 2 +3h =9x 2 +6x () =lim dx h →0 h →0 h dp () a =0 9x 2 +6x =0 33x +2 ) =0 x =0. . y x = – 2 ( x dx 3 4/8/23 11:17 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 52 4/8/23 11:17 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 52]]> 0 4 a) Encontremos el desplazamiento a los 3 segundos. b) Determinemos si a los 5 segundos alcanza una velocidad de al menos 1000 km/h y cuál es la acele- ración en este tiempo. Solución Si alcanza una velocidad de al menos 2 ()+ 43 a) S() =3 10113 () () =3 4 160. m 1 000 km/h a los 5 s. + + () ( +h ( + () =lim b) vt () =lim St h) – S t () = 4 t +8 t +11 at vt ) –v t =12t 2 +8 3 h→0 h h →0 h 5 () + =8 308. v() = 4 () +5 3 8 ()+5 11 =551. m =1983,6. km . a() =125 2 m 2 . 5 s h S La aceleración es de 308 m/s a los 5 s. 2 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 56 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 56]]> 0 (t medido en segundos). 3 2 a) Encuentra el tiempo en el que el automó- d) Encuentra (si se puede) la aceleración vil superará una velocidad de 100 km/h. a los 6 segundos. Aproximadamente a los 4 En t = 6 la función no es derivable. km ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción segundos 129,6. . h 3. Un cohete despega, la función de desplaza- b) Escribe la distancia que ha recorrido el miento del cohete (en metros) está definida automóvil a los 10 segundos. de la siguiente forma: 2 3 S(t) = t + 2t – t + 10, t > 0; (t en segundos) S(10) = 843 m a) Si necesita llegar a una velocidad de por lo menos 1000 km/h para superar la estra- tósfera, determina el tiempo que demo- c) Indaga la aceleración a los 2 segundos. rará en superar esta capa de la atmósfera. Aproximadamente t = 9s m km 2 a() =8. v() =1000,8. 9 S 2 h 57 2. En una carretera, un automóvil parte del b) Halla la aceleración al primer segundo. reposo, la velocidad en metros por segundo se define de la siguiente forma: m ⎧ t 2 – t +1,. t ≤5 a() =110. 2 2 vt () =⎨ S ⎪80–0,3 t >5 ⎩ a) ¿Cuál es la velocidad en kilómetros por 4. Responde verdadero (V) o falso (F) a las si- hora a los 3 segundos? guientes afirmaciones. km La aceleración es la derivada de la función v() =57,6. 3 h de la velocidad respecto al tiempo: vt () V () =lim at ( +h ) –v t b) ¿Cuál es la velocidad en metros por se- h →0 h gundo a los 8 segundos? La aceleración es la derivada de la función m del desplazamiento respecto al tiempo: v() =77,6. 8 s F () ( +h at St ) – S t () =lim h →0 h c) Determina (si se puede) la aceleración a La velocidad es la derivada de la función los 4 segundos. del desplazamiento respecto al tiempo: m V a() =15. St ) – S t 4 ( +h () S 2 vt () =lim h →0 h 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 57 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 57 4/8/23 11:18]]>0,. ∀ ∈ ,.a = αa + 58 n n +1 n a n –1 n 1. a creciente si: a n ≤ a n +1 ,. ∀ ∈ I n 2. a estrictamente creciente si: a < a ,. ∀ ∈ I n n n n +1 n Sucesiones monótonas 3. a decreciente si: a n +1 ≤ a n ,. ∀ ∈ I n 4. a estrictamente decreciente si: a < a ,. ∀ ∈ I n n n +1 n 5. a es monótona si es creciente o decreciente. n TIC Actividad resuelta Para conocer más La sucesión (a ) está definida de la siguiente manera: k sobre sucesiones a = –k + 6,..k ∈. numéricas reales, k visita la siguiente Determinemos el dominio, los cinco primeros términos y el recorrido página: de la sucesión. www.mayedu.ec/ctm12/p58 Observa la gráfica de la sucesión: y  Al no existir raíz negativa, el dominio es: Dominio ≤≤1 k 6,.siendo. k ∈ I . 3 Los cinco primeros términos son: 2 a = –1 + =62,24;.. a = –2 +=62;.. a = –3 + =61,73; 1 1 3 2 a = –4 + =61,41;.. a = –5 +=61 x 4 5 0 1 2 3 4 5 6 El recorrido de la función es: Recorrido 0 ≤ k ≤ 2,24. –1 –2 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 58 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 58]]> a k ⇔2k +>10 62 13. Comprueba que las sucesiones (a ) propues- Estrictamente creciente k tas en cada inciso son monótonas estricta- mente decrecientes: 1 + a) a = 3 k ,. ∈  k k , . b) a = k k ∈  + k a k +1 < a k ⇔ < 03k 2 + +3k 1 a > a ⇔ k +> k 1 k +1 k Estrictamente creciente 2 . , b) a = 2– k k ∈  + k a k +1 < a k ⇔–2 –1 0 k < . , 2 c) a = 3– k + kk ∈  + k a k +1 < a k ⇔–2 0 < k 3 k 2 c) a = k 3–2–1,. ∈  + Estrictamente decreciente k 1 a k +1 < a k ⇔–6k 2 +<0 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 62 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 62]]> a k ⇔–9 –10 > Estrictamente creciente 1 d) a = k 2 1 15. Responde verdadero (V) o falso (F) a las si- a(3) = 2 guientes afirmaciones. 1 Una sucesión es finita cuando la suce- e) a =− k sión toma un número finito de valores, F 2 es decir, cuando su recorrido es finito. a(1) =− 1 2 63 Una sucesión es finita cuando el V conjunto I de índices es finito. 17. Indica en qué término se dan los resultados Una sucesión es monótona si es V propuestos en cada inciso de la siguiente creciente o decreciente. sucesión (a ): k 3 k −3  a = −1, k ∈ . Una sucesión es estrictamente cre- k 2 k +2 ciente cuando se cumple la siguiente F condición: a n +1 < a n ,. ∀ ∈ I a) a = –1 n k Una sucesión es creciente cuando a(1) = –1 se cumple la siguiente condición: F n a n +1 > a n ,. ∀ ∈ I 5 Una sucesión es decreciente cuan- b) a =− 2 k do se cumple la siguiente condición: V n a n +1 ≤ a n ,. ∀ ∈ I a(0) =− 5 2 16. Indica en qué término se dan los resultados propuestos en cada inciso de la siguiente c) a =− 11 k sucesión (a ): 2 k (2 ) k a −=− 11 a =−1, k ∈ . 2  k 2 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 63 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 63 4/8/23 11:18]]> 1, la progresión es creciente y decreciente cuando 0 < r < 1. Razón • Se calcula diviendo un término por el que le precede. • La razón puede ser un número positivo o negativo. Notación y término a = primer término; r = razón o diferencia; n = número de términos n-ésimo Término n-ésimo Un = a • r n – 1 , el último término: l = ar n–1 Suma de los primeros S = ⋅ a ⎛ r n –1 ⎞ ;,S = lr – a términos n ⎜ ⎝ –1 ⎟ r –1 .. r ⎠ VF =VF +int =VF ( + =r1 ) VP ( +r1 ) n Aplicación de n n–1 n–1 progresiones en VF VP = Valor..presente..o..actual finanzas: Valor futuro VP = n n Donde: ( +r ) VF = Valor..final..o..futuro 1 Actividad resuelta 68 El término a de una progresión geométrica es 2 y el cuarto término es 16. Encontremos la razón (r) y la suma de los cuatro primeros términos. 3 n – 1 r a) Sabemos que a = 2 y que U = 16, de acuerso con: U = a · r , entonces U = ar 4–1 ⇒ 16 =2 r ⋅⇒ =2. ⋅ 4 4 n Concluimos que la razón (r) es dos (2). ⎛ r n −1 ⎞ b) Una vez encontrado el valor de la razón, calculamos la suma: S n = ⋅⎜ ⎟ por lo que reemplazando a 1 4 ⎛ 2 –1 ⎞ ⎝ r − ⎠ 2 los valores: S = ⋅ ⎜ ⎟ = 30. 4 ⎝ 2–1 ⎠ Concluimos que la suma de los primeros 4 términos de la progresión es igual a 30 (incluido a). Taller I.M.5.4.1. Identifica las sucesiones según sus características y halla los parámetros desconocidos; aplica progresiones en aplicaciones cotidianas y analiza el sistema financiero local, apreciando la importancia de estos conocimientos para la toma de decisiones asertivas. (J.2.) 1. El segundo término de una progresión geométrica es 4 y el octavo término es 256. Calcula lo que se indica en cada literal. a) La razón r. b) El primer término de la progresión. r = 2 a = 2 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 68 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 68]]> 0 y f una función real definida en todo   ⎧  → Definición: Sen: ⎨ ⎪ x → sen x () ⎩ Función Seno: ( Dominio: Domsen) =  La función f(x) = sen(x) es periódica de periodo 2π . Recorrido: Rec (Sen ) = [–1,.1 ] La amplitud A de la función ysen x () es 1. = () ∀ ∈x,... Función impar: sen ( ) =x– – senx   ⎧  → Definición: Cos: ⎨ x ⎪ x → cos() ⎩ Función Coseno: ( Dominio: Dom cos) =  La función f(x) = cos(x) es 72 periódica de periodo 2π . Recorrido: RecCos ) = [–1,.1 ] ( La amplitud A de la función y cos() es 1. x = ( ) =x Función par: cos– cos () ∀ ∈x ,... x  y = Asen(Bx + C) + D, y = Acos(Bx + C) + D, ∀∈x  A, B, C, D ∈  con A ≠ 0, B ≠ 0 Amplitud A. : Promedio entre los valores máximo y mínimo de la función. Transformaciones de las gráficas de las funciones Periodo (T): Cuánto se requiere del dominio para que f describa un ciclo π B trigonométricas completo. =T 2/ funciones sinusoidales Frecuencia (B): Las veces que se repite el ciclo. Desplazamiento vertical (D): Traslación vertical en D unidades. Desfase: Desplazamiento horizontal de – C/B unidades. Actividad resuelta Sea la función y = 2sen(x + 2) +1. Encontremos la amplitud, El gráfico de la función es: el periodo, la frecuencia, el desplazamiento vertical y el desfase. y Solución 3 2 Sabemos de forma general que y = Asen(Bx + C) + D, por lo 1 π B T tanto, la amplitud es A = 2, el periodo es =T 2 / ⇒ =2, x π la frecuencia es B =1, la gráfica se desplaza hacia arriba 1 unidad –π –π/2 0 –π/2 π 3π/2 2π 5π/2 (D = 1) y se desplaza 2 unidades a la izquierda C B–/ del sen(x). –1 4/8/23 11:18 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 72 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 72 4/8/23 11:18]]> 0⇔≠ 0 La norma de un vector es la distanca en línea recta entre dos puntos A y B que delimitan al vector.  Longitud o norma Sean =A , (a b ) ∈ 2 , la longitud o norma de A: de un vector    A = ( ⋅ A A ) = a 2 +b 2 Esta longitud es desde el origien hasta A. , (a bB = , (cd 2 , distancia de .a.AB:  , ) Sean =A 84 Distancia entre   ) ∈ dos puntos dA ,B = A –B = (a – ) ( + b d 2 ( ) 2 – ) c    BA 1. Sean , ∈AB 2 , A es ortogonal o perpendicular a ( ⊥ B ) , si ⋅=AB 0.     S B Sean ∈A  2 .y. ⊂  2 .con. ≠∅ se dice que ⊥AS si ⋅=AB 0...∀∈ S . , S , R A AB B 2. Sean R, S dos subconjuntos no vacíos de  2 ,→⊥ S si ⋅= 0...∀∈ ,...∀∈ S . Ortogonalidad     S . , ∈ Scon 2 AB S 3. Sean ⊂  con ≠∅ S es ortogonal si: ⋅= 0...∀AB . . ≠AB . SS ⊥ , S S 4. Sean ⊂  2 .con. ≠∅ . El complemento ortogonal de ( ) se define como { B 2 el conjunto: S ⊥ = A ∈ AB 0,...∀∈ S } ⋅= Actividad resuelta     a) Sean los vectores A ( ) B ( ) b) Sean los vectores A (2,2),.= B (0,1),= 2,3. 1,4,. = =    Calculamos ⋅AB y la distancia de .a.AB. C (1,0). = Aplicamos el producto escalar:    AB ( 1,4) ( ⋅ 2,3) = 21214 Calculamos AB C( + )⋅ . + ⋅= =    Calculamos la distancia de .a.AB Aplicamos el producto escalar: AC BC⋅+ ⋅   AB = ( 1–2) ( + 4–3) = 1 1= 2 Primero: AC 20 2. 2 2 += ⋅= – +  Segundo: BC 00 0.⋅= +=   Por lo tanto: AC BC 20 2.⋅+ ⋅= += 4/8/23 11:19 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 84 4/8/23 11:19 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 84]]> ⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha. c < ⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda. 0 La expresión canónica de la parábola vertical con V (0, 0) y eje focal x = 0 (eje y) es: 2 x = 4cy. Ecuación Donde: 89 canónica de c > ⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba. 0 la parábola c < ⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo. 0 Coordenadas del foco: F(0, c) y la ecuación de la directriz y = –c. La ecuación de la parábola con vértice fuera del origen es: Horizontal: (y – k) = ±4p(x – h) 2 Vertical: (x – h) = ±4p(y – k) 2 Actividad resuelta Analicemos el lugar geométrico que representa la siguiente ecuación: y + 4x – 2y + 2 = 0. 2 Observamos que una de las variables está elevada al cua- y drado, por lo tanto, se trata de una parábola, para determi- 4 nar su vértice completamos trinomios cuadrados perfectos: 3 y ) y ( + 2 y ( 2 − 2 y ) + =1 − x −4 21 y ( − 2 2 + =1 − x −4 21 2 x = –– 3 + 4 y ( ) −1 2 = − x −4 1 ) −1 2 = − x −4 ⎛ 1 ⎞ 1 F 1 V = (–0,25, 1) x y ( ) −1 2 = −4 ⎛ ⎜ ⎝ x + 4 ⎞ 1 ⎟ y ( ) −1 = −4 ⎜ ⎝ x + 4 ⎟ ⎠ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ⎠ –1 ⎛ −1 ⎞ Esta parábola tiene de vértice V = ⎜ ,1 y eje focal paralelo al eje x, de ecuación y = 1. ⎟ ⎛ ⎞ −1 V = ⎜ ⎝ 4 ,1 ⎟ ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎞ Longitud del eje focal 1, foco F ⎛ –5 , 1 y directriz x = 3 ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ 4 4/8/23 11:19 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 89 4/8/23 11:19 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 89]]>1, se la conoce como “hipérbola”. Definición La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de dis- ) – ,0 , ) yF tancias a los puntos fijos ( F c ,0 , , ( ′ c es constante e igual a 2a. Ecuación cartesiana de la ⎛ ⎞ x 2 ⎛ ⎞ y 2 hipérbola con eje x como Ecuación con eje x como principal: ⎜ ⎟ –. ⎜ ⎟ =1 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ principal a b Ecuación cartesiana de la ⎛ ⎞ x 2 ⎛ ⎞ y 2 hipérbola con eje y como Ecuación con eje y como principal: ⎜ ⎟ –. ⎜ ⎟ = –1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ principal b a ⎧ b ⎫ 2 R , ( =⎨ xy ) ∈  y = x ⎬ 1 ⎩ a ⎭ Asíntotas de la hipérbola ⎧ b ⎫ 2 R 2 , ( =⎨ xy ) ∈  y = – x ⎬ ⎩ a ⎭ – ,0 , ) ) yF Focos de la hipérbola ( F c ,0 , , ( ′ c para hallar los focos se utiliza la siguiente ecuación: c = b + a 2 97 2 2 Actividad resuelta TIC  Sea ( 0,5,3, ) esta expresión denota a la hipérbola de Para conocer más H centro C(0,0) y valores en a = 5 y b = 3. sobre la hipérbola, Identificamos la ecuación de la hipérbola con eje x como visita el siguiente principal, obtenemos los focos y las asíntotas. enlace: Primero la ecuación cartesiana de la hipérbola con eje x www.mayedu.ec/ctm12/p97 como principal es: ⎫ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H (  ) 0, , ab ⎧ ( = ⎨ , x y ) ∈ 2 ⎛ ⎞ x 2 – ⎛ ⎞ y 2 = ⎬ 1 ,por,lo,tanto,,H (  )0,5,3 ⎧ ( = ⎨ , xy ) ∈ 2 ⎛ ⎞ x 2 – ⎛ ⎞ y 2 = ⎬ 1. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a b ⎩ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎪ ⎩ ⎪ ⎝ ⎠ 5 ⎝ ⎠ 3 ⎭ ⎪ y 2 Conocemos que: a = 5, b = 3 y como c = b + a ; 10 2 2 2 2 c = 3 + 5 ; c = 6 por lo tanto, los focos serán los 2 siguientes: 5   2 ( ) F y F 1 ( –6,0 , , = 6,0. ) Por último, calculamos las asíntotas: (–5, 0) (5, 0) x = b 3 b 3 –15 –10 –5 0 5 10 15 y Ry ⇒ = y ,,yR y – x ⇒ = – x . : = x : = x 1 a 5 2 a 5 –5 –10 4/8/23 11:19 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 97 4/8/23 11:19 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 97]]>0, está definida: Definición pA B) ( pA B) = ( ∩ pB () pA B) 0 ( ∩ ( 1. Si AB∩=∅ : pA B) = = = 0 pB () pB () ( p A B) ∩ pB () Deducciones 2. Si B ⊂ A ,y,p B () > 0:,p AB) ( = = = 1 pB () pB () ( p A B) ∩ p A () 3. Si A⊂ B ,y,p B () > 0:,p AB) ( = = ≤ 1 pB () pB () ( 1. Eventos independientes: Si pB A) = p B () la probabilidad está Eventos dependientes relacionada: pA B) = p A ()× p BA) ( ( ∩ e independientes ( 2. Eventos dependientes: pA B) = p A ()× p BA) ( ∩ 112 Actividad resuelta Shutterstock, 1665264154. En una frutería se venden piñas y duraznos. Entre las frutas se tienen frutas en buen estado y frutas defectuosas, como se muestra en la tabla a continuación: Piñas (P) Duraznos (D) Total Buen estado (B.e) 100 110 210 Defectuosas (Def.) 50 90 140 Total 150 200 350 Determinamos la probabilidad de que al comprar dos piñas, la segunda sea defectuosa en caso de que la primera se encuentre en buen estado. En segundo lugar, calculamos la probabilidad de que al comprar una fruta defectuosa, esta sea un durazno. Solución TIC 1. La probabilidad de que la segunda piña sea defectuosa es: 50 =34.%. Para conocer 149 más sobre probabilidad 2. La probabilidad de que sea durazno es: condicional, visita el siguiente ( ∩Def pD ) 90 enlace: ( pD Def ) = = = 64.%. ( pDef ) 140 www.mayedu.ec/ctm12/p112 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 112 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 112]]>30 42 % ___________________________________ e) Responde cuál evento es más probable ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción b) Verifica que si al 42 % de tus amigos les que ocurra entre los anteriores. gusta el tenis, al 60 % les gusta el fútbol. ___________________________________ Hombre 18-30 años sí, dado que mujer 60 % sí se verifica. ___________________________________ ___________________________________ >30 años sí. 2. Se realiza un estudio sobre el consumo de be- 3. En una bolsa hay 25 fichas bidas alcohólicas según rangos de edad de numeradas del 1 al 25. hombres y mujeres, donde “sí” represente a las personas que sí consumen y “no” lo contrario. Los resultados se muestran a continuación: Shutterstock, 360214058-256963294. a) Encuentra la probabilidad de que al sacar Mujer (M) una ficha, esta sea la número 23. Hombre (H) 18-30 >30 años Total ___________________________________ La probabilidad es del 4 %. años Sí No Sí No b) Si la primera ficha que se sacó era la nú- 113 18-30 Sí 0,1 0,03 0,12 0,05 0,30 mero 23 y esta no se devuelve a la bolsa, años No 0,08 0,02 0,03 0,02 0,15 determina la probabilidad de que al sacar >30 Sí 0,12 0,03 0,11 0,04 0,30 una segunda ficha, esta sea de un número años No 0,07 0,03 0,08 0,07 0,25 mayor o igual a 20. La probabilidad es del 21 %. Total 0,37 0,11 0,34 0,18 1,00 ___________________________________ c) En caso de que la segunda ficha que se a) Indica la probabilidad de que un hom- bre entre 18 - 30 años consuma bebidas sacó era el número 7 y tampoco se la de- alcohólicas, dado que una mujer de este vuelve a la bolsa encuentra la probabili- rango de edad lo haga. dad de que al sacar una tercera ficha, esta sea de un número menor o igual al 10. ) =27.% sí ( pH ___________________________________ ___________________________________ sí M La probabilidad es del 39 %. 18–30 18–30 b) Determina la probabilidad de que un hombre entre 18-30 años consuma bebi- d) Indica la probabilidad de que al sacar tres das alcohólicas, dado que una mujer >30 fichas, las tres sean números mayores o años de edad lo haga. iguales a 20. La probabilidad es del 0,9 %. ___________________________________ ___________________________________ sí Msí ( pH ) =35.% >30 18–30 e) Finalmente, indica la probabilidad de que c) Calcula la probabilidad de que una mu- jer mayor a 30 años no consuma bebidas al sacar tres fichas, las tres sean números alcohólicas, dado que un hombre entre menores a 10. 18-30 años de edad sí lo haga. ___________________________________ La probabilidad es del 4 %. ( pM no H ___________________________________ sí ) =17.% 18–30 >30 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 113 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 113]]>30 La probabilidad es del 36 %. ___________________________________ 6. Responde verdadero (V) o falso (F) a las si- e) Encuentra la probabilidad de que al sacar guientes afirmaciones. tres bolas, las tres sean amarillas. La probabilidad es del 3 %. A la probabilidad se la define como un ___________________________________ proceso aleatorio, razón entre el nú- V 5. Una fábrica textil dedicada a la producción mero de casos favorables y el número de prendas de vestir, produce camisetas de de casos posibles. tallas small (S), medium (M) y large (L). Dentro de su producción obtuvieron camisetas con Se considera como un evento depen- fallas (Cf) y sin fallas (Sf). Los números de las diente el lanzar dos monedas al mismo camisetas producidas se resumen en la tabla a tiempo, pues el resultado de obtener F continuación: cara o cruz de la una, se ve afectado por el resultado de obtener cara o cruz Estado Sin fallas Con fallas de la otra. Talla (Sf) (Cf) Total La probabilidad condicional de un Small (S) 100 20 120 evento A dado un evento B, se define Medium (M) 200 15 215 de la siguiente manera: F ( ∩B Large (L) 80 25 105 pA = ) B pA ) (/ () Total 380 60 440 pA 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 114 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 114 4/8/23 11:20]]>30 años dad de que haya sido de los que estudian 40/100 Otra presencialmente. (Pr. Tesis ___________________________________ ) =75.% p e) Si se elige un estudiante al azar que haya b) Si se selecciona un jugador al azar, halla la escogido graduarse mediante examen probabilidad de que juegue en una posi- complexivo, establece la probabilidad de ción distinta a delantero. que haya sido de los que estudian presen- ) = 60.% ( pOtra cialmente o de forma virtual. ___________________________________ . p ) =72.% . ___________________________________ c) Si se elige un delantero al azar, indica la 117 (Pr.,Virtual ECom probabilidad de que sea mayor a 30 años. f) Si se elige un estudiante al azar que haya p ) =30.% escogido graduarse mediante examen ___________________________________ (>30 Del . complexivo, encuentra a qué modalidad de estudios tiene mayor probabilidad de d) Si se elige a un jugador de una posición pertenecer y con qué porcentaje. distinta a delantero, determina la proba- bilidad de que tenga 30 años o menos. Modalidad presencial con el 41 %. ___________________________________ ___________________________________ p ) =87.% (≤30 Otra 4. En un equipo de fútbol se tienen 12 jugadores menores a 20 años, 8 jugadores entre 20 y 30 e) Si se selecciona un delantero al azar, cal- años y 5 jugadores mayores a 30 años. El 25 % cula a qué rango de edad es más proba- de los jugadores menores a 20 años juega en ble que pertenezca y con qué porcentaje. la posición de delantero, igual que el 50 % de Edad entre 20 y 30 años con el 40 %. los jugadores entre 20 y 30 años, mientras que ___________________________________ el 40 % de los jugadores mayores a 30 años ___________________________________ juega en una posición diferente a delantero. f) Si se selecciona al azar un jugador de una posición distinta a delantero, calcula a qué rango de edad es menos probable que pertenezca y con qué porcentaje. Shutterstock, 94343116. __________________________________ Edad mayor a 30 años con el 13,33 %. ___________________________________ 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 117 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 117]]> 3] = 45 % ___________________________________ 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 119 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 119]]> 27] = 70 % k) Grafica la función de distribución. h) Encuentra la probabilidad de que tengan entre 31 y 32 años. ___________________________________ p[31 ≤ X ≤ 32] = 30 % Función de distribución i) Determina la probabilidad de que sean 1 mayores a 28 años, pero menores de 31 0,8 años. 0,6 p[28 < X < 31] = 30 % 0,4 ___________________________________ 0,2 0 j) Grafica la función de probabilidad. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 Función de probabilidad 3. Se desea conocer la edad de los trabajadores 0,4 0,3 de una oficina. Se conoce que las edades de 0,3 0,2 0,15 0,15 los trabajadores son de 27, 28, 29, 30, 31 y 32 0,2 0,1 0,1 años. 0,1 0 a) Define la variable aleatoria. Edad de los trabajadores de una oficina X = "Edad de los trabajadores de una 27 28 29 30 31 32 __________________________________ ___________________________________ oficina" 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 120 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 120 4/8/23 11:20]]> 101] = 50 % ⎪0,85,,31si ≤ <32,x ⎪ h) Grafica la función de probabilidad. ⎩ 1,00,,si x ≥32 Función de probabilidad ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción l) Grafica la función de distribución. 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 Función de distribución 0,2 0,1 0,1 0 1 Peso de los animales de una granja 0,8 100 101 102 103 104 0,6 0,4 0,2 i) Expresa la función de distribución. 0 27 28 29 30 31 32 33 ⎧0,,,,,, ,si x <100, ⎪ 0,40,,100 ≤ <101,x si ⎪ ⎪ 0,50,,101si ≤ <102,x 121 () =⎨ 4. Se desea hacer un estudio para conocer el F x 0,60,,102 ≤ <103,x si peso de los animales de una granja. Se conoce ⎪ ⎪ si que los animales pesan entre 100 y 104 kilos. ⎪ 0,80,,103 ≤ <104,x a) Define la variable aleatoria. ⎩1,00,,si x ≥104 ___________________________________ X = "Peso de los animales de una granja" j) Grafica la función de distribución. b) Completa la información de la tabla. x i 100 101 102 103 104 Función de distribución P[X = x] i 0,4 0,10 0,10 0,20 0,20 1 c) Determina la probabilidad de que pesen 0,8 0,6 menos de 110 kilos. 0,4 p[X < 110] = 100 % 0,2 ___________________________________ 0 d) Halla la probabilidad de que pesen entre 100 101 102 103 104 105 100 y 102 kilos. k) Concluye si es más probable que pesen p[100 ≤ X ≤ 102] = 60 % entre 100 y 102 kilos o entre 102 y 104 ___________________________________ e) Obtén la probabilidad de que pesen 103 kilos. kilos o más. Es más probable que pesen entre 100 y ___________________________________ 102 kilos con el 60 %. ___________________________________ p[X ≥ 103] = 40 % ___________________________________ 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 121 4/8/23 11:20 Cuaderno Matematica 2 BGU.indd 121]]>