4 x 5 − 7 3 x 5 5 3 − 7x − 9 ≥− 8x + 11 x + 5 2 4 + 1 x 2 4 x 3 − 7 4 5 x − − x 3 1 > 5 − 3 3 ≤−1 d) 5– ⎛ ⎜ 4 ⎝ x –1 ⎞ ⎟ > ⎛ ⎜ 3 ⎠ ⎝ x – 1 ⎞ ⎟ ⎠ 6 j) 3 6 − 7x − 9 2 ≥− 8x + 11 x + 5 33 5 4 2 2 3 − 7 4 51x + 1 x −13 > 4 x 5 ≤ 15x 3 +1 3 5 + 2x x −1 4 − x − 3 ≤−1 3 6 − 7x 2 9 5 − 2 ≥− 8x + 11 x 4 + 5 4 2 51x + 1 x −13 > 4 x 5 3 7 − 3 3 5 e) x ⎛ ⎜ – 3 ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ 2 x –1 ⎞ ⎟ ≥ ⎛ ⎜ 5 x – 1 ⎞ ⎟ 4 − − x 1 + 2x − 3 ≤ 15x +1 3 – x 4 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ 5 k) x ≤−1 5 3 6 − 7x − 9 2 ≥− 8x 4 2 3 + 11 x 4 + 5 51x −13 + 2x ≤ 15x +1 x −1 4 − x − 3 6 2 ≤−1 f) ⎛ ⎜ 3 ⎝ x – 2 ⎠ 9 ⎞ ⎟ + 3 x ≤ ⎛ ⎜ – 2 ⎝ 27 x –6 ⎞ ⎟ ⎠ l) 51x −13 + 2x ≤ 15x +1 4 Contenidos pedagógicos Contiene: contenido que será abordado en este tema, acompañado de actividades de desarrollo a manera de ejemplo. En seguida se encuentra el taller acompañado de actividades dosificadas en niveles repro- ductivo, aplicativo y de creación, todas ellas seguidas del espacio suficiente para su desarro- llo dentro del cuaderno de trabajo. 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 3 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 3]]> b, la fracción es impropia y su cociente es mayor que 1. Toda fracción impropia se convierte en una fracción mixta compuesta por una parte entera y una fracción propia. Para ello se divide el numerador para el denominador; el cociente es la parte entera, el numerador de la parte fraccionaria es el residuo de la división y se conserva el denominador. Para pasar de fracción mixta a fracción impropia, se multiplica la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y se suma el numerador. El resultado de esta operación es el numerador de la fracción impropia, mientras que el denominador es el mismo de la parte fraccionaria de la fracción mixta inicial. TIC Actividad resuelta Ingresa al enlace 1. Escribimos la fracción correspondiente a la parte pintada de la y observa la siguiente figura. 6 representación gráfica de varias fracciones: mayedu.ec/ctm9/p6 Contamos las partes en las que está dividida la figura; este es el denominador de la fracción; luego para el numerador contamos 6 1 las partes pintadas. R. = 12 2 7 2. Indicamos cuál es la fracción mixta de la fracción impropia . 3 Dividimos el numerador para el denominador. Luego escribimos el cociente como la parte entera, el residuo como numerador y conservamos el denominador original. 7 3 7 = 2 1 1 2 3 3 2 3. Transformamos la fracción 3 a impropia. 5 Shutterstock, (2021). 1510247405 te entera por el denominador de la fracción más el numerador, Colocamos como numerador el resultado de multiplicar la par- el denominador se conserva. (3 × 5) + 2 = 17 17 2 3 = 5 5 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 6 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 6]]>, ≥). 3 Orden en los números racionales Tema Para comparar fracciones se deben considerar los siguientes criterios: a) Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. b) Si dos fracciones tienen igual denominador, se comparan sus numeradores. c) Si dos fracciones tienen distinto denominador, las convertimos en fracciones equivalentes con igual denominador, lo cual se consigue determinando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y amplificando, luego las fracciones expresadas con el m.c.m. como denominador. Por último, se comparan como fracciones de igual denominador. ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción d) También se puede comparar dos fracciones comparando sus productos cruzados. Actividad resuelta TIC 1. Comparamos las fracciones: Para ampliar el tema ingresa al 3 5 3 5 – y – Entonces – > – enlace y realiza 7 9 7 9 la actividad –(3 • 9) > – (7 • 5) propuesta: mayedu.ec/ctm9/p13 1 2. Escribimos dos números racionales entre –1,3 y – 2 1 Convertimos a decimal la fracción dada: – = –0,5 . Luego escribimos dos números mayores que –1,3 y menores que –0,5: –1,2; –0,55 2 13 Taller Establece relaciones de orden en un conjunto de números racionales e irracionales, con el empleo de la recta numérica (representación geométrica). (Ref. I.M.4.1.3.) 1. Compara cada par de fracciones y escribe los signos <, = o >, según corresponda. 4 1 3 7 100 101 a) > g) – < m) – < 7 7 13 9 7 8 16 1 4 3 121 b) > h) > n) > – 12 11 100 9 7 11 c) – 2 > – 13 i) 8 > – 15 o) – 13 > – 17 5 5 12 17 13 15 15 6 5 75 d) – > – j) > p) 33 < 4 3 5 6 2 12 240 16 12 – 2 e) < k) – < – q) – 47 < 5 60 7 20 5 3 31 93 1 3 f) 0 < l) – = – r) 3 < 3 100 5 15 5 4 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 13 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 13]]> 0,6 V f) 1,09 > F 12 10 1 18 b) – > – 0,1 F g) –0,91 < – V ⁾ 5 20 3 c) –0,12 > – 0,123 V h) 3,03 > 3 V ⁾ 100 1 ⁾ d) –1,2 > – 1,2 ⁾ V i) 3 = 0,3 V Shutterstock, (2021). 581178127 7 e) 3,5 > V j) 5,99 < 5,09 ⁾ F ⁾ 2 3. Escribe dos números racionales que estén entre cada par de números dados. Respuesta abierta a) 3 y 3,5 7 3 Respuesta abierta b) – y – 4 5 4 5 c) y Respuesta abierta 7 3 14 d) –2,5 y 1 Respuesta abierta 3 4. Ordena en forma ascendente los siguientes números racionales. 7 1 8 3 11 5 2 8 3 1 2 5 7 11 a) ; ; – ; – ; ; ; – < – < < < < < 9 5 5 7 10 7 3 5 7 5 3 7 9 10 2 9 11 9 15 12 7 12 9 2 7 11 9 15 b) – ; – ; ; ; ; – ; – < – < – < < < < 8 7 12 7 8 6 9 6 7 8 9 12 7 8 4 2 1 13 13 2 4 1 c) –0,6; ; –3,7; 0,3; – ; 1 ; – –3,7 < – < – < –0,6 < 0,3 < < 1 9 3 3 9 9 3 9 3 5. Ordena en forma descendente los siguientes números racionales. 14 13 1 3 8 20 5 13 8 3 1 5 14 20 a) – ; ; – ; ; ; – ; – > > > – > – > – > – 5 3 7 9 5 3 6 3 5 9 7 6 5 3 47 17 19 63 51 13 21 17 13 19 21 47 51 63 b) ; ; ; ; ; ; > > > > > > 46 3 13 64 50 6 20 3 6 13 20 46 50 64 81 ⁾ 49 73 81 ⁾ 73 49 c) 5,3; ; 7,3; 9,07; ; 9,07 > > 7,3 > > > 5,3 10 8 10 10 10 8 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 14 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 14]]>, menor que <, propuestas en el menor o igual que ≤ o mayor o igual que ≥. siguiente enlace: Para resolver una inecuación con coeficientes racionales, se siguen los mismos pasos que para resolver una ecuación, con la diferencia mayedu.ec/ctm9/p32 que la solución es un conjunto de números racionales. Actividad resuelta 4 x x 5 3 Resolvamos: –5 ≤ x ( – ) –1 3 6 5 Pasos Operaciones 4 5 3 3 1. Resolvemos los productos indicados. x –5 ≤ x – x + 3 6 5 5 4 5 3 3 2. Transponemos términos. x – x + x ≤ +5 3 6 5 5 11 x 28 3. Reducimos términos semejantes en cada lado de la ecuación. ≤ 10 5 32 56 4. Despejamos la incógnita. x ≤ 11 Taller Formula y resuelve problemas aplicando las propiedades algebraicas de los números racionales y el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. (Ref. I.M.4.1.4.) 1. Escribe tres números racionales que sean solución de las siguientes desigualdades. 16 Respuesta 47 Respuesta 1 Respuesta a) x ≤ c) x < e) x > – 5 abierta 6 abierta 3 abierta 35 Respuesta 23 Respuesta 3 Respuesta b) x > d) x < – f) – x > – 7 abierta 4 abierta 4 abierta 2. Selecciona el número que no satisface a las siguientes inecuaciones. 3 1 1 a) x ≤2 A) 0 B) C) 4 4 2 x 7 25 b) > A) 10 B) C) 9,5 4 3 6 x 2 4 3 5 c) – > A) – B) –1 C) – 5 9 2 2 Shutterstock, (2021). 1747650056 x 8 16 4 1 1 d) – > – A) B) C) – 11 33 3 3 3 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 32 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 32]]> x ≤ 75 4 x 3 7 1 c) – < x –2 2 + x > 4 x − 7 5 10 i) 5 3 5 3 13 3 9 5 11 x > − 7x 41 ≥− 8x + x + 5 − 4 2 4 x > 2 4 3 7 4 1 7 5 + x > 5 x − 3 3 x −1 x − 3 33 ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 1 − ≤−1 d) 5– ⎜ –1 ⎟ > 3 ⎜ x – ⎟ 3 6 2 5 11 9 ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠ 6 j) − 7x − ≥− 8x + x + 5 4 2 1 24 3 7 4 − −13 51x + x > + 2x x ≤ 15x +1 5 3 5 3 4 –125 x < 2 x −1 x − 3 ≤−1 − x ≤ 6 3 21 5 11 2 9 − 7x − ≥− 8x + x + 5 2 4 1 2 4 3 7 4 + x 51x −13 > x − 5 3 3 x ⎛ 3 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 1 5 3 + 2x ≤ 15x +1 e) – ⎜ x – ⎟ + 2 ⎜ –1 ⎟ ≥ 5 ⎜ x – ⎟ x 4 −1 x − 3 4 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ 5 k) − ≤−1 5 3 6 − 9 2 ≥− 8x + 11 x + 5 − 7x 4 2 3 4 14 x ≤ – 51x −13 + 2x ≤ 15x +1 85 x ≤ 7 4 x −1 x − 3 ≤−1 − 6 2 ⎛ ⎞ 2 x ⎛ x 2 ⎞ 3 f) ⎜ x – ⎟ + ≤ – ⎜ –6 ⎟ 51x −13 ⎝ ⎠ 9 3 ⎝ 27 ⎠ l) + 2x ≤ 15x +1 4 45 x ≤ 23 x ≥ –17 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 33 9/3/23 09:54 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 33]]>, ≥). Tema Números reales El conjunto de los números reales, que se simboliza por R, está formado por la unión de los números racionales e irracionales. R = {Q U Q'} Orden en los reales TIC Para ordenar los números reales, escribimos cada uno en su notación Para saber más decimal y los comparamos de acuerdo a las condiciones de orden. de los números reales, ingresa al Redondeo de números reales enlace: Los números reales se pueden redondear según la cifra propuesta. mayedu.ec/ctm9/p46 Si el número que precede a esa cifra es 5 o mayor a 5, se le suma 1. Caso contrario, se la mantiene. Actividad resuelta 1 1. Ordenamos en forma ascendente los números: –1,25; 2; ; π; –10 3 21, 1 = 0,333 = 414 Escribimos los números en forma decimal. 3 π = 3,141 Los ordenamos de menor a mayor. < –10–1,25 < <0,333 <1,414 3,141 46 2. Redondea 3 a las centésimas. = Hallamos 3 en la calculadora. 31,732.050.808 Ubicamos la cifra de las centésimas y la redondeamos. 1,732 050 808 = 1,73 Taller Reconoce el conjunto de los números reales y sus propiedades. Establece relaciones de orden y aproxima a decimales. (Ref. I.M.4.2.2.) 1. Señala con una x al conjunto que pertenece 2. Completa el organizador gráfico. cada número. Números reales Número N Z Q R 5,3 x x Números Números 1 x racionales irracionales 3 x 3 x x Números enteros –7 x x x 0 x x x 1– 5 x x enteros cero enteros  negativos positivos 0,6 x x π x x naturales 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 46 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 46]]>, < o =. ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción  1  9 a) 0,3 = c) 6,2 > 4,22 e) 3 27 = g) 1,04 > 1,009 3 3 1 7 b) 3 > d) – > –2 f) 22 < 2 π h) 5 < 23 2 5 5. Determina el valor de los siguientes números en la calculadora. Luego redondéalos a la cifra solicitada. a) 11 a las décimas 3,3 e) 2 a a las milésimas 6,283 π b) 44 a las centésimas 6,63 f) 5 + 2 a las décimas 6,4 c) √1 + √3 a las décimas 2,7 g) 3e a las milésimas 8,155 d) 3 √4 a las centésimas 1,59 h) π 2 a las décimas 2,5 47 2 6. Ordena los siguientes números en forma ascendente.  1  1 a) 3;.– 2; π ;.–3,4;. –3,4;.. – 2;.. ;.. 3;.. π 3 3 7 7  b) –; .0; –17;.4,3;. 5;.–e –17;.. – ;.. –;..0;.. 5;..4,3 e 2 2 7. Escribe dos números reales entre los pares de números. a) 6 y 6,1 Respuesta abierta e) 0,3 y 0,34 Respuesta abierta  b) –2,3 y –2,2 Respuesta abierta f) 7 y 2,6 Respuesta abierta  c) –7,1 y –7,1 Respuesta abierta g) e y π Respuesta abierta d) –1,25 y –1,23 Respuesta abierta h) √3 y √4 Respuesta abierta 8. Frente a cada enunciado escribe verdadero V o falso F, según corresponda. a) a ≤ b ⇔ b – a ≥ 0 V c) a ≤ b ⇒ ac ≤ bc, c ∈ R + V b) a ≤ b ⇒ ac ≥ bc, c ∈ R – V d) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b F 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 47 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 47]]> (a, ∞) xa a a a a a a b b a a a b – a a b ≥ [a, ∞) xa – a a b –a a b – – a b b – –a b b 79 (–∞, b) xb – –– – – a b b b b < – – – b b – – – b b (–∞, b] x ≤b –– – – b Shutterstock, (2021). 1260200701 – – b b – (–∞, ∞) – ∞< <∞ – x – Actividad resuelta 1. Resolvemos la inecuación: 2x – 3 ≤ 5x – 8 + 3. a) Transponemos términos. 2–5x ≤ –83 3 x + + b) Reducimos términos semejantes en cada lado de la ecuación. –3x ≤ –2 c) Si el signo del coeficiente de la incógnita es negativo, multi- plicamos por (–1) y cambiamos los signos de la inecuación, 3x ≥2 cambiando además el sentido de la desigualdad. 2 d) Despejamos la incógnita. x ≥ 3 2 e) Escribimos el intervalo correspondiente a la solución. , 3 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 79 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 79]]> –10 entonces –3 + 1 > –10 + 1. V d) El módulo de la suma es 1 o 3 + 1 = 4. V e) Si (–7)2 = 49 y (7)2 = 49 entonces √ 49 = ±7. V 4. Selecciona la opción correcta. a) Si ∼(p → q) ∧ r es verdadera, determinar los valores de verdad de p, q y r. A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FFF b) Si (p ∧ ∼ q) → r es falsa, determinar los valores de verdad de p, q y r. A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FFF c) Si (p ∨ q) → (r → p) es falsa, determinar los valores de verdad de p, q y r. A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FVV d) Si (p ↔ r) ∧ (r ∧ q) es verdadera, determinar los valores de verdad de p, q y r. A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FFF 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 86 9/3/23 09:55 Cuaderno Matematica 9 EGB.indb 86]]>