,≥). Tema Orden de números enteros Con mucha frecuencia se necesario comparar dos elementos del conjunto de números enteros, presentándose los siguientes casos: Sean a, b dos números enteros Significado a = b a es igual a b a < b a es menor que b a ≤ b a es menor o igual que b a > b a es mayor que b a ≥ b a es mayor o igual que b Para determinar qué relación de orden tienen dos números, podemos seguir las siguientes reglas: a) Al ubicar los números en la recta numérica, es menor el que está a la izquierda. b) Entre dos números positivos, es menor el de menor valor absoluto. c) Entre dos números negativos, es menor el de mayor valor absoluto. d) Siempre un número negativo es menor que un positivo o cero. e) Siempre un número positivo es mayor que uno negativo o cero. Actividad resuelta Colocamos los signos >, < o = según corresponda. 10 Solución Explicación a) –5 ________ 7 –5 < 7 Todo número negativo es menor que un positivo. b) –8 ________ –11 –8 > –11 –8 está a la derecha de –11 en la recta numérica. c) 6 ________ 12 6 < 12 El número 6 está a la izquierda de 12 en la recta numérica. d) 10 ________ –5 10 > –5 Todo número positivo es mayor que un número negativo. e) –15 ________ –11 –15 < –11 Entre dos números negativos, el menor es el de mayor valor absoluto. f) 10 ________ 10 10 = 10 Los números son iguales. Taller I.M.4.1.1. Ejemplifica situaciones reales en las que se utilizan los números enteros; establece relaciones de orden empleando la recta numérica; aplica las propiedades algebraicas de los números enteros en la solución de expresiones con operaciones combinadas, empleando correctamente la prioridad de las operaciones; juzga la necesidad del uso de la tecnología. (I.4.) 1. Escribe >, < o = según corresponda. a) –4 _____ 3 g) –30 _____ –35 m) 0 _____ –1 > < > b) –7 _____ –3 h) –40 _____ 5 n) 1 _____ 0 < < > c) 8 _____ 4 i) –17 _____ –29 o) 5 _____ |–5| > > = d) 0 _____ –7 j) –11 _____ –7 p) |–10| _____ |–3| > < > e) –1 _____ 1 k) 4 _____ 0 q) –1 450 _____ 780 > < < f) –12 _____ –10 l) –3 _____ –3 r) 1 001 _____ 1 010 < = < 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 10 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 10 9/3/23 09:48]]>, respectivamente. Ejemplo: Ordena en forma ascendente y descendente los siguientes números enteros: 4, –7, 0 –5, +8. Se ubican los números en la recta numérica: –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Orden ascendente: –7 < –5 < 0 < 4 < 8 Orden descendente: 8 > 4 > 0 > –5 > –7 3. Dado el conjunto de números enteros A = {–11, –5, +6, +9, –10, +3, 0, –1}; efectúa lo siguiente: a) Dibuja la recta numérica y ubica los números del conjunto A. 11 –11–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 b) Escribe el conjunto de números, ordenados ascendentemente. –11< –10 < –5 < –1 < 0 < 3 < 6 < 9 _________________________________________________________________________________________________ c) Escribe el conjunto de números, ordenados descendentemente. _________________________________________________________________________________________________ 9 > 6 > 3 > 0 > –1 > –5 > –10 > –11 d) Escribe en los espacios en blanco el número menor y el número mayor del conjunto A. Número menor –11 Número mayor 9 4. En tu cuaderno escribe el antecesor y el sucesor de los siguientes números. a) –105 c) 392 e) –5 001 g) –201 b) –9 001 d) 3 415 f) –4 999 h) 356 5. En tu cuaderno encuentra un número que cumpla con las siguientes condiciones. a) Tres unidades mayor que 12. f) Una centena mayor que 125. b) Tres unidades mayor que –12. g) Una centena mayor que –125. c) Cinco decenas menor que 34. h) Una centena menor que 50. d) Dos decenas mayor que 34. i) Una centena mayor que –50. e) Dos decenas menor que –34. j) Una unidad de mil menor que –200. 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 11 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 11 9/3/23 09:48]]>, ≥. Para resolver una inecuación se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones. La diferencia es que, en el último paso, para despejar la incógnita se cambia el signo de desigualdad cuando se multiplica o divide por un número negativo. Además, la solución de una inecuación no es un solo valor, sino un conjunto de valores que satisfacen la inecuación. Actividad resuelta Resolvamos la siguiente ecuación: 2 – 5(–3x + 2) = 5(x – 1) – 23 a) Destruimos los paréntesis mediante la propiedad distributiva. 2 + 15x – 10 = 5x – 5 – 23 Separamos incógnitas a la izquierda y números a la derecha. b) 15x – 5x = –5 – 23 – 2 + 10 Si cambia de lado, cambia el signo. c) Resolvemos cada miembro de la ecuación. 10x = –20 Despejamos la incógnita: El número que multiplica a la –20 d) x = incógnita pasa a dividir al segundo miembro. 10 e) Obtenemos la solución de la ecuación. x = –2 2 – 5(–3(–2) + 2) = 5(–2 – 1) –23 32 Comprobamos la respuesta, reemplazando el valor 2 – 5(8) = 5(–3) –23 f) encontrado en la incógnita y obteniendo una igualdad. 2 – 40 = –15 – 23 –38 = –38 Taller I.M.4.1.2. Formula y resuelve problemas aplicando las propiedades algebraicas de los números enteros y el planteamiento y resolución de ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita; juzga e interpreta las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema. (I.2.) 1. Relaciona cada ecuación con su solución. 2x + 3 = 9 –3 –5x – 2 = 13 –15 –4x = 60 3 2x + 10 = 40 11 40 – 2x = 18 15 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 32 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 32]]> 3 c) En un almacén, el precio se considerará al por mayor si compra más de 3 artículos. _____________ t > 5 d) El paciente debe estar en cama más de 5 días. _____________ t > 30 e) Haga ejercicio más de 30 minutos diarios. _____________ x ≤ 400 f) La deuda no es más de 400 dólares. _____________ g ≤ 100 g) En el paseo no gastaré más de 100 dólares. _____________ p < 40 h) Para un viaje seguro, el bus debe llevar menos de 40 pasajeros. _____________ 6. Relaciona cada inecuación con su solución. –6x > 18 x > –3 –5x < –20 x < 4 10x > –30 x < –3 –8x > –32 x > 4 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 34 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 34]]> 2 (x – 1) x < 2 CS = {…–3, –2, –1, 0, 1} 35 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 b) –6 (x + 1) –8 ≤ –2 (x – 1) x ≥ –4 CS = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…} –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 c) 2 (–3x + 2) –5 < –2 (x – 1) + 1 x > –1 CS = {0, 1, 2, 3, 4,…} –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 d) 2 (x + 2) ≤ 3 (x – 1) x ≥ 7 CS = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…} –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e) 2x – 5 (–3x + 2) ≥ 5x – 9x – 10 x ≥ 0 CS = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 35 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 35 9/3/23 09:48]]>, ≥). Tema Orden en los números racionales Para establecer la relación de orden (>, < o =) entre dos o más números racionales deben ser expresados con un denominador común para luego compararlos. Actividad resuelta 1. Ordenamos de menor a mayor los siguientes b) Ordenamos de menor a mayor: números racionales, observemos el proceso: 40 15 7 8 30 – – 2 – 2 3 – 3 7 20 20 20 20 20 5 1 2 4 20 c) Escribimos en función de los números a) El denominador común es 20, por lo tanto, racionales originales, así: se los puede expresar así: 3 7 2 3 < 8 – 40 30 – 15 7 –2 – < 4 20 << 5 2 20 20 20 20 20 Para establecer la relación de orden (>, < o =) entre dos o más números racionales deben ser expresados con un denominador común para luego compararlos. En el caso de comparar solo dos números racionales, se puede multiplicar en cruz y con los resultados establecer la comparación. 5 4 2. Comparamos los números racionales: y . 9 7 48 5 4 9 7 Como 35 < 36, se concluye: Se multiplica en cruz: 5 < 4 5 × 7 = 35 9 × 4 = 36 9 7 Taller I.M.4.1.3. Establece relaciones de orden en un conjunto de números racionales e irracionales, con el empleo de la recta numérica (representación geométrica); aplica las propiedades algebraicas de las operaciones (adición y multiplicación) y las reglas de los radicales en el cálculo de ejercicios numéricos y algebraicos con operaciones combinadas; atiende correctamente la jerarquía de las operaciones. (I.4.) 1. Coloca los signos >, < o = entre los siguientes números racionales. 6 8 56 7 61 82 < < a) ____ f) ____ – k) – ____ > 7 9 71 10 3 9 33 8 13 18 65 68 b) ____ g) ____ l) – ____ – < > > 100 25 15 23 48 99 2 4 6 7 2 5 c) ____ h) – ____ – m) – ____ > < < 7 7 7 6 7 9 9 21 5 70 16 48 d) – ____ i) ____ n) ____ < = < 11 25 99 120 17 51 63 8 9 45 63 70 e) ____ – j) – ____ – o) – ____ – < = > 12 9 25 125 79 89 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 48 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 48]]> – 71 25 71 25 90 113 c) > Correcto 111 225 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 29 26 d) < Correcto 33 29 9 27 9 27 e) = Incorrecto > 16 59 16 59 91 212 f) < Correcto 34 55 3. Ordenar en forma ascendente y en forma descendente números racionales: 9 4 3 9 15 a) Números: –3,– , , , ,– 2 7 4 14 28 9 15 4 9 3 49 Orden ascendente: <– < –3 – < < < 4 7 14 28 2 _________________________________________________ 3 9 4 15 9 Orden descendente: > > > > – –3 > – 2 7 4 14 28 _________________________________________________ 7 9 4 13 6 3 b) Números: – ,– , , , ,– 10 30 3 15 5 2 3 7 9 13 6 4 Orden ascendente: < – < – < – < < 10 30 15 5 2 3 _________________________________________________ 4 6 13 9 7 3 Orden descendente: >> > > – – > – 10 3 2 30 5 15 _________________________________________________ 37 4 13 4 c) Números: – ,–0,7777... , ,– ,0,56666... 45 15 9 3 4 37 4 13 Orden ascendente: < – < – –0,7777... < < 0,56666... < Shutterstock, (2021). 740935708 9 3 15 45 _________________________________________________ 13 4 37 4 Orden descendente: > >0,56666... > > –0,7777... – > – 45 3 15 9 _________________________________________________ 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 49 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 49 9/3/23 09:48]]> 2} siguiente código: 1 Primero escribimos por extensión los conjuntos A y B, así: A = {x N / x < 5} = {1, 2, 3, 4} mayedu.ec/ctm8/p70 B = {x Z / –2 < x ≤ 1} = {–1, 0, 1} Luego realizamos el producto cartesiano: Shutterstock, (2021). 1743739307 A × B = {(1, –1); (1, 0); (1, 1); (2, –1); (2, 0); (2, 1); (3, –1); (3, 0); (3, 1); (4, –1); (4, 0); (4, 1)} Y encontramos los pares ordenados de la relación: 70 R = {(2, 1); (3, 0); (3, 1); (4, –1); (4, 0); (4, 1)} 1 (recuerda que la condición es: x + y > 2) El dominio y recorrido son: dom = {2, 3, 4} y rec = {–1, 0, 1} 5. Completa lo solicitado si A = {x N / x ≤ 3} y B = {x N / 2 ≤ x ≤ 5} a) Escribe el conjunto A por extensión: A = {___________} 1, 2, 3 b) Escribe el conjunto B por extensión: B = {___________} 2, 3, 4, 5 c) A × B = {(______); (______); (______); (______); (______); (______); (______); (______); (______); (______); 1, 5 2, 3 1, 2 2, 2 1, 4 1, 3 2, 5 3, 2 3, 3 2, 4 (______); (______)} 3, 4 3, 5 d) R = {(x, y) A × B / x = y} = { (2, 2); (3, 3)} 1 {(1, 4); (2, 3); (3, 2)} e) R = {(x, y) A × B / x + y = 5} = _______________________ 2 {(1, 5); (2, 4); (2, 5); (3, 3); (3, 4); (3, 5)} f) R = {(x, y) A × B / x + y > 5} = ________________________________________ 3 {(3, 2)} g) R = {(x, y) A × B / x > y} = ________ 4 {(1, 3); (2, 4); (3, 5)} h) R = {(x, y) A × B / y = x + 2}= _________________________ 5 {(1, 2); (2, 4)} i) R = {(x, y) A × B / y = 2x} = ___________________ 6 {(1, 4); (1, 5); (2, 5)} j) R = {(x, y) A × B / y – x > 2}= _______________________ 7 {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 4); (3, 5)} k) R = {(x, y) A × B / x < y} = _________________________________________________________ 8 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 70 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 70]]> 1 0 < k < 1 k = 2 C' k = 1 C C 2 C' O B B' O B' B A A' 88 A' A k < –1 –1 < k < 1 k = –2 B' 1 C k = – 2 C A' A' B A O B' O B C' C' A Taller I.M.4.5.1. Construye figuras simétricas; resuelve problemas geométricos que impliquen el cálculo de longitudes con la aplicación de conceptos de semejanza y la aplicación del teorema de Tales; justifica procesos. 1. Dibuja gráficas simétricas a la figura azul, respecto al eje de simetría, y luego píntala de rojo: C B A B B' A' D Eje de simetría A E C C' A' B' E' E D D' E' C' Eje de simetría D' 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 88 9/3/23 09:48 Cuaderno Matematica 8 EGB.indb 88]]>